有1000杯水，其中1杯有毒。 老鼠只要喝下一滴毒药，就会在两小时内死亡。

假设每杯有足够的水并且有足够的采样设备。

如果只需要2小时，需要多少只老鼠才能找出哪杯水有毒？

问题分析1

这个问题比较直观，也容易理解。 解决这个问题的算法的好坏可以通过两个因素来评价：时间成本和鼠标成本。

显然，该问题对时间和鼠标成本都有要求。 可以选择先找到一个直观的算法，然后对直观的算法进行分析和改进，得到符合要求的算法。

问题的初步抽象

对于水：我从0开始为每杯水编号，0为第一杯水的编号，999为第1000杯（最后一杯）水的编号。 另外，为了描述方便，将0号杯水简称为0号水，其他编号的各杯水亦同。

对于小鼠：我对每只消耗的小鼠从0开始编号，以0作为第一个消耗的小鼠的编号，其他编号的小鼠以此类推。

问题的初步解决方案

秉承循序渐进的原则，不考虑时间成本，也不考虑老鼠的成本。

那么问题就可以变成如何花费一定的时间和一定数量的老鼠从1000杯水中找出有毒的那杯水。

这个问题很直观，很容易找到下面的算法：

直观的算法1

1. 用1只小鼠从第一杯水开始喝水，喝完水后等待2小时。

2. 如果老鼠在2小时后死亡，那么老鼠2小时前喝的这杯水是有毒的。 如果没有死，老鼠会继续喝1杯水，直到喝完最后一杯水或死亡。

直观算法2

1. 使用 1,000 只小鼠。 每只小鼠喝一杯与自己相同数量的水，喝完水后等待2小时。

2. 2小时后毒水，老鼠喝下的这杯水是有毒的。

算法1评估

最差时间成本：2000小时（可改善至1998小时）

老鼠数量成本：1

算法2评估

最差时间：2小时

老鼠成本：1000只（当然可以提高到999只）

问题分析2

上述两种算法直观，但效率不高。 由于算法2比算法1更接近问题需求（只需要2个小时），所以这里我们重点对算法2进行分析和改进。

算法2之所以需要1000只老鼠，是因为每只老鼠只喝了1杯水。 也就是说，1只老鼠只存储了一杯水是否有毒的信息。 如果能让每只老鼠喝更多杯水，从而存储更多关于水是否有毒的信息，那么老鼠的成本就可以降低。

当有4杯水时，你可以用2只老鼠找到有毒的那杯水； 0号小鼠可以同时喝0号和1号水，1号小鼠可以同时喝0号和2号水。 根据0号和1号老鼠的“反应”找到那杯有毒的水。 具体来说：如果两只老鼠都死了，那么这杯毒水就是0号； 如果两只老鼠都存活下来，那么这杯有毒的水就是第三杯； 如果0号老鼠存活，1号老鼠死亡，则2号水和1号水有毒； 如果1号老鼠存活，0号老鼠死亡，则1号水有毒。 由此可以得出结论，需要2只老鼠才能找到4杯水中有毒的1杯。

按照这个方法，需要花费500只老鼠才能解决这个问题！ 至此，就得到了一个新的算法，这里称为算法3！

算法3

使用500只小鼠，每组2只小鼠，共250组

1、0号小鼠喝0号水和1号水； 1号小鼠喝0号和2号水。

2号大鼠喝4号和5号水； 3号老鼠喝4号和6号水。

……

直到，498号老鼠喝了号水； 499号老鼠喝号水

2.当一只老鼠死亡时，可以根据同组中另一只老鼠的存活情况来找到这杯有毒的水。

算法3评估

最差时间：2小时

老鼠数量成本：500

问题分析3

算法3：根据任意一组小鼠的生存状况，只能判断该组小鼠喝下的水是否有毒，而无法帮助判断其他数量的水。

4杯水的问题可以由2只老鼠一组来解决。 所以这里假设1000杯水的问题也被一组N只老鼠解决了。 任意1杯水是否有毒，都是由这N只老鼠共同决定的！

问题进一步抽象

老鼠喝水的话用0表示，不喝水的话用1表示；

存活用1表示，小鼠死亡用0表示，

所有饮水条件和生存条件按照小鼠数量从左到右排列；

当有4杯水时，使用2只小鼠。

对于0号水，两只老鼠都喝了，定义为0, 0

对于1号水，0号老鼠喝了它，但1号老鼠不喝它，定义为0,1

对于2号水，0号小鼠没有喝它，但是1号小鼠喝了它，定义为1,0

对于3号水，0号小鼠不喝，1号小鼠也不喝，定义为1,1

可以将水数0~3改成如下的二进制形式：

00,

01,

10、

11

小鼠饮水情况为：

0号大鼠喝0号水和1号水；

1号大鼠喝0号和2号水；

老鼠的生活条件有四种：

0号小鼠死亡，1号小鼠死亡； 用0，0表示，此时0号水是有毒的。

0号小鼠死亡，1号小鼠存活； 用0和1表示，此时1号水是有毒的。

0号小鼠存活，1号小鼠死亡； 用1，0表示，此时2号水有毒。

0号小鼠存活，1号小鼠存活； 以1，1表示，此时3号水是有毒的。

可以发现，两只小鼠的生存状态与水数是对应的。

这里可以把生存情况当成二进制，转成十进制。 此时，其值为有毒的一杯水的数量。

当有8杯水时，根据以上结论。 使用 4 只老鼠可以让你找到那杯有毒的水，但这不太可能是一个有效的方法，因为 8 杯水被分为 2 个不同的组。 难道只有用3才能找到吗？ 假设能查到，这里根据4杯水的处理方法推导一下：

对于0号水，0、1、2号小鼠都喝了，定义为0、0、0。

对于1号水，0号小鼠喝水，1号小鼠喝水，2号小鼠不喝水，定义为0,0,1

对于2号水，0号小鼠喝水，1号小鼠不喝水，2号小鼠喝水，定义为0,1,0

对于3号水，0号小鼠喝了，1号小鼠不喝，2号小鼠不喝，定义为0,1,1

对于4号水，0号小鼠不喝，1号小鼠喝，2号小鼠喝，定义为1,0,0

对于5号水，0号小鼠不喝水，1号小鼠喝水，2号小鼠不喝水，定义为1,0,1

对于6号水，0号小鼠不喝水，1号小鼠不喝水，2号小鼠喝水，定义为1,1,0

对于7号水，0、1、2号小鼠不喝，定义为1、1、1

小鼠饮水情况为：

0号大鼠喝0、1、2、3号水；

1号大鼠喝0、1、4、5号水；

2号大鼠喝0、2、4、6号水；

老鼠的生存条件有8种：

0号小鼠死亡，1号小鼠死亡，2号小鼠死亡； 用0,0,0表示，此时0号水是有毒的。

0号小鼠死亡，1号小鼠死亡，2号小鼠存活； 用0、0、1表示，此时1号水是有毒的。

0号小鼠死亡，1号小鼠存活，2号小鼠死亡； 用0、1、0表示，此时2号水有毒。

0号小鼠死亡，1号小鼠存活，2号小鼠存活； 用0、1、1表示，此时3号水有毒。

0号小鼠存活，1号小鼠死亡，2号小鼠死亡； 用1、0、0表示，此时4号水有毒。

0号小鼠存活，1号小鼠死亡，2号小鼠存活； 用1、0、1表示，此时5号水是有毒的。

0号小鼠存活，1号小鼠存活，2号小鼠死亡； 用1、1、0表示，此时6号水是有毒的。

0号小鼠存活，1号小鼠存活，2号小鼠存活； 用1、1、1表示，此时7号水是有毒的。

至此，8杯水的问题可以用3只老鼠解决。

2只小鼠的4种生存情况分别对应4杯水的数量；

3只小鼠的8种生存情况分别对应8杯水的数量。

当有N只老鼠时，由于每只老鼠有两种生存情况：0和1，所以总共有2种N次方生存情况，可以解决大小2的N次方问题。

当N为10时，有1024种生存情况。

此时，对于 1000 杯水，只需要 10 只老鼠就可以找到这杯有毒的水。

算法4

1000杯水，用10只老鼠，

将每杯水的编号从0到999以二进制形式写出

从 到 对于每 1 杯水，每 1 杯水以 10 位二进制形式编号，从左到右分别描述为第 1 到第 10 位数字。

0号老鼠喝的是第一位为0的二进制数对应的水。

1号老鼠喝的是第二位为0的二进制数对应的水。

……

8号老鼠喝的是第九位为0的二进制数对应的水。

9号老鼠喝的是第10位为0的二进制数对应的水。

2小时后，将表示生存状态的10位二进制数转换成十进制数，查出毒水的编号。

算法4评估

最差时间：2小时

老鼠成本：10只